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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 3 - Límites y continuidad

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7. Calcular los siguientes límites:
e) lim⁡x→3∣x−3∣x3−27\lim _{x \rightarrow 3} \frac{|x-3|}{x^{3}-27}

Respuesta

¿Qué es lo primero que vamos a hacer? Deshacernos del móduloooo 🤪

Acordate que ∣x−3∣|x-3| vale x−3x-3 si x>3x > 3. En cambio, si x<3x<3 vale −(x−3)-(x-3). Es decir, nuestra expresión cambia según xx esté tendiendo a 33 por derecha y por izquierda, tenemos que abrir el límite 😉

Por derecha

lim⁡x→3+x−3x3−27 \lim _{x \rightarrow 3^+} \frac{x - 3}{x^3 - 27}

Sigue la indeterminación "cero sobre cero", tenemos que tratar de factorizar para que se nos simplifique algo. Fijate que lo del denominador lo podemos pensar como una diferencia de cubos:

lim⁡x→3+x−3x3−33 \lim _{x \rightarrow 3^+} \frac{x - 3}{x^3 - 3^3}

Y acá vamos a usar que:

a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

En nuestro caso, a=xa = x y b=3b = 3, entonces nos quedaría:

lim⁡x→3+x−3(x−3)(x2+3x+9) \lim _{x \rightarrow 3^+} \frac{x - 3}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}

Y ahí se nos simplifican los x−3x-3, genial:

lim⁡x→3+1x2+3x+9=127 \lim _{x \rightarrow 3^+} \frac{1}{x^2 + 3x + 9} = \frac{1}{27}

Por izquierda

El razonamiento es análogo, la única diferencia es que en el numerador ahora nos queda −(x−3)-(x-3)

lim⁡x→3−−(x−3)(x−3)(x2+3x+9)=−127  \lim _{x \rightarrow 3^-} \frac{-(x-3)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} = -\frac{1}{27} 

Como los límites por derecha y por izquierda no coinciden, entonces concluimos que:

lim⁡x→3∣x−3∣x3−27=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{|x-3|}{x^{3}-27} = No existe
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